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612 DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICAS

la cual se conoce como una integral de volumen. Observe la estrecha analogía entre
suma e integración.
Casos similares podrán darse en otros campos de la ingeniería. Por ejemplo, la ra-
pidez total de la transferencia de energía a través de un plano, donde el flujo (en calorías
por centímetro cuadrado por segundo) es una función de la posición, está dada por
∫ ∫
Transferencia de calor = fl ujo dA
A

que se denomina una integral de área, donde A = área.
De manera similar, para el caso unidimensional, la masa total de una barra con
densidad variable, y que tiene un área de sección transversal constante, está dada por
m = A ∫ 0 L ρ()
x dx

donde m = masa total (kg), L = longitud de la barra (m), ρ(x) = densidad conocida
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(kg/m ) como una función de la longitud x (m) y A = área de la sección transversal de la
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barra (m ).
Por último, las integrales se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales. Por
ejemplo, suponga que la velocidad de una partícula es una función continua conocida
del tiempo v(t),
dy
= v()
t
dt
La distancia total y recorrida por esta partícula en un tiempo t está dada por (figura
PT6.3b)

y = ∫ t v() (PT6.5)
t dt
0
Éstas son sólo algunas de las diversas aplicaciones de la diferenciación y la integración
que usted podría enfrentar regularmente durante el desarrollo de su profesión. Cuando
las funciones sujetas a análisis son simples, usted preferirá evaluarlas analíticamente.
Por ejemplo, en el problema del paracaidista en caída, determinamos la velocidad como
función del tiempo [ecuación (1.10)]. Esta relación podría sustituirse en la ecuación
(PT6.5), la cual se integra con facilidad, para determinar la distancia que cae el para-
caidista en un periodo t. En un caso así, la integral es fácil de evaluar. Sin embargo, es
difícil, o imposible, cuando la función es complicada, como sucede en el caso de ejem-
plos reales. Además, a menudo la función analizada se desconoce y se define, sólo por
mediciones en puntos discretos. En ambos casos, usted debe tener la habilidad de obte-
ner valores aproximados para las derivadas e integrales mediante técnicas numéricas.
Varias de esas técnicas se analizarán en esta parte del libro.

PT6.2 ANTECEDENTES MATEMÁTICOS

En el nivel medio superior o durante su primer año en el nivel superior, se le dio una
introducción al cálculo diferencial e integral. Ahí usted aprendió técnicas para obtener
derivadas e integrales exactas o analíticas.

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