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822 PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA Y DE VALORES PROPIOS

PROBLEMAS

27.1 El balance de calor de estado estacionario de una barra se 27.11 Emplee el método de potencias para determinar el valor
representa como: propio más alto y el vector propio correspondiente, para el pro-
blema 27.10.
2
dT − 015. T = 27.12 Emplee el método de potencias para determinar el valor
0
dx 2 propio más bajo y el vector propio correspondiente para el pro-
blema 27.10.
Obtenga una solución analítica para una barra de 10 m con T(0) = 27.13 Desarrolle un programa de cómputo amigable para el
240 y T(10) = 150. usuario a fin de implantar el método del disparo para una EDO
27.2 Use el método del disparo para resolver el problema 27.1. lineal de segundo orden. Pruebe el programa con la duplicación
27.3 Use el enfoque de diferencias finitas con ∆x = 1 para resol- del ejemplo 27.1.
ver el problema 27.1. 27.14 Utilice el programa que desarrolló en el problema 27.13
27.4 Emplee el método del disparo para resolver para resolver los problemas 27.2 y 27.4.
27.15 Desarrolle un programa de computadora amigable para el
2
dy dy
7 − 2 − yx+ = 0 usuario para implantar el enfoque de diferencias finitas para
dx 2 dx resolver una EDO lineal de segundo orden. Pruébelo con la du-
plicación del ejemplo 27.3.
con las condiciones de frontera y(0) = 5 y y(20) = 8.
27.16 Utilice el programa desarrollado en el problema 27.15
27.5 Resuelva el problema 27.4 con el enfoque de diferencias
para resolver los problemas 27.3 y 27.5.
finitas con ∆x = 2.
27.17 Desarrolle un programa amistoso para el usuario para
27.6 Utilice el método del disparo para solucionar
encontrar el valor propio más alto con el método de la potencia.
2
dT −× − 7 T + 273 +) 4 4 150 −( T =) 0 (P27.6) Pruébelo con la duplicación del ejemplo 27.7.
1 10 (
dx 2 27.18 Desarrolle un programa amistoso para el usuario a fin de
resolver el valor propio más pequeño con el método de la poten-
Obtenga una solución para las condiciones de frontera: T(0) = cia. Pruébelo con la duplicación del ejemplo 27.8.
200 y T(0.5) = 100. 27.19 Emplee la herramienta Solver de Excel para solucionar
27.7 Es frecuente que las ecuaciones diferenciales como la que directamente (es decir, sin linealización) el problema 27.6 con el
se resolvió en el problema 27.6 se puedan simplificar si se linea- uso del enfoque de diferencias finitas. Emplee ∆x = 0.1 para
lizan los términos no lineales. Por ejemplo, para linealizar el obtener su solución.
término a la cuarta potencia de la ecuación (P27.6), se puede usar 27.20 Use MATLAB para integrar el par siguiente de EDO, de
una expansión en series de Taylor de primer orden, así: t = 0 a 100:
4
–7
4
–7
1 × 10 (T + 273) = 1 × 10 (T b + 273) + 4 dy 1 = 035. y − 16. y y dy 2 = 004. yy − 015. y
12
2
1
1 2
3
–7
× 10 (T b + 273) (T – T b ) dt dt
donde y 1 = 1 y y 2 = 0.05 en t = 0. Desarrolle una gráfica de espa-
donde T b es la temperatura base acerca de la que se linealiza el
cio estacionario (y 1 versus y 2 ) de sus resultados.
término. Sustituya esta relación en la ecuación (P27.6) y luego
27.21 La ecuación diferencial que sigue se utilizó en la sección
resuelva la ecuación lineal resultante con el enfoque de diferencias
8.4 para analizar la vibración de un amortiguador de un auto:
finitas. Emplee T b = 150 y ∆x = 0.01 para obtener su solución.
27.8 Repita el ejemplo 27.4 pero para tres masas. Elabore una 6 dx 7 dx
2
gráfica como la de la figura 27.6 para identificar los modos del 12 10. × 2 + 1 10× + 15 10. × 9 x = 0
dt dt
principio de vibración. Cambie todas las k a 240.
27.9 Vuelva a hacer el ejemplo 27.6, pero para cinco puntos Transforme esta ecuación en un par de EDO. a) Use MATLAB
interiores (h = 3/6). para resolver las ecuaciones, de t = 0 a 0.4, para el caso en que
27.10 Use menores para expandir el determinante de: x = 0.5, y dx/dt = 0 en t = 0. b) Emplee MATLAB para determi-
nar los valores y vectores propios para el sistema.
⎡ 2 − λ 8 10 ⎤ 27.22 Use IMSL para integrar:
⎢ ⎥
⎢ 8 4 λ– 5 ⎥ dx = ax bxy−
⎢ ⎣ 10 5 7 − ⎦ ⎥ a) dt
λ
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