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PROBLEMAS 823

dy
=− cy dxy+
dt x 1 x 2 x 3
k 1 k 2 k 3 k 4
donde a = 1.5, b = 0.7, c = 0.9 y d = 0.4. Emplee las condiciones m 1 m 2 m 3
iniciales de x = 2 y y = 1 e integre de t = 0 a 30.

dx
b) =−σ x +σ y Figura P27.25
dt
dy
= rx y xz− −
dt 27.26 Considere el sistema masa-resorte que se ilustra en la fi-
gura P27.26. Las frecuencias para las vibraciones de la masa se
dz determinan con la solución para los valores propios y con la apli-
=− bz xy+
dt cación de Mx¨ + kx = 0, que da como resultado:
donde s = 10, b = 2.666667 y r = 28. Utilice las condiciones ⎡ m 0 0 ⎤⎧ −k − ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
x ⎫
x
k
0
iniciales de x = y = z = 5 e integre de t = 0 a 20. ⎢ 1 ⎥ ⎪ ⎪ ⎡2k ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
1
1
⎢
0
x ⎬ + −k
x
⎥
27.23 Utilice diferencias finitas para resolver la ecuación dife- ⎢ 0 m 2 0 ⎨ 2 ⎢ 2k −k ⎥ ⎨ 2⎬⎬ = ⎨ ⎬
⎪ ⎪⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
3⎦⎩ ⎭
x
rencial ordinaria con valores en la frontera ⎢ ⎣ 0 0 m ⎥ 3 ⎢ ⎣ −k −k 2k ⎦ ⎩ 3⎭ ⎩ ⎭
⎥ x
0
2
du + 6 du − u =
2
iwt
dx 2 dx Al elegir x = x 0 e como solución, se obtiene la matriz siguiente:
con condiciones de frontera u(0) = 10 y u(2) = 1. Grafique los ⎡ 2k − m ω 2 − k − k ⎤ xx ⎫ ⎧ 0⎫
⎧
resultados de u versus x. Utilice ∆x = 0.1. ⎢ − 1 2k m− ω 2 − ⎥⎪ 01 ⎪ itω ⎪ ⎪
⎥
27.24 Resuelva para la EDO no dimensionada, por medio del ⎢ k 2 k 2 ⎪ ⎨ x ⎬ e = ⎨ 0 ⎬
02
⎪ ⎪
⎪
⎥ x
método de diferencias finitas, que describa la distribución de la ⎢ ⎣ − k − k 2k − m ω ⎦⎩ 03⎭ ⎩ 0 ⎭
3
temperatura en una barra circular con fuente interna de calor S.
2
dT + 1 dT + S = Utilice el comando eig de MATLAB para resolver los valores
0
2
dr 2 r dr propios de la matriz anterior k – mw . Después utilice dichos
valores propios para resolver para las frecuencias (w). Haga
m 1 = m 2 = m 3 = 1 kg, y k = 2 N/m.
en el rango 0 ≤ r ≤ 1, con las condiciones de frontera
dT
Tr( = 1 ) = 1 = 0
dr r=0
x 1 k x 2 x 3
2
para S = 1, 10 y 20 K/m . Grafique la temperatura versus el
radio. m m m
27.25 Obtenga el conjunto de ecuaciones diferenciales para un 1 k 2 k 2
sistema de cuatro resortes y tres masas (figura P27.25) que des-
criba su movimiento en el tiempo. Escriba las tres ecuaciones
diferenciales en forma matricial.
Figura P27.26
[vector de aceleración] + [matriz k/m]
[vector de desplazamiento x] = 0
27.27 Hornbeck (1975) propuso la siguiente EDO parásita no
Observe que cada ecuación ha sido dividida entre la masa. Re- lineal:
suelva para los valores propios y frecuencias naturales para los
valores siguientes de masa y constantes de los resortes: k 1 = k 4 = dy 1 = 5( y − )
2
t
15 N/m, k 2 = k 3 = 35 N/m, y m 1 = m 2 = m 3 = 1.5 kg. dt 1
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