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29.4 EL MÉTODO DEL VOLUMEN DE CONTROL 881

Cuando q es menor a 45°, como se muestra, la distancia del nodo 7 al 8 es ∆x tan q, y se
utiliza la interpolación lineal para estimar
∆ x tan θ
T = T + ( T – T ) ∆ y
7
8
8
6
La longitud L es igual a ∆x/cos q. Esta longitud, junto con la aproximación para T ,
17 7
puede sustituirse en la ecuación (29.25) para obtener
⎛ ∆ x ⎞ ∂ T ∆ x tan θ ⎛ ∆ x tan θ ⎞
T = ⎜ ⎟ + T + T 1– ⎟ (29.26)
8⎜
1 ⎝ cosθ ⎠ ∂η 6 ∆ y ⎝ ∆ y ⎠
3
Tal ecuación proporciona un medio para incorporar el gradiente normal en el méto-
do de diferencias finitas. En los casos donde q es mayor a 45°, deberá usarse una ecuación
diferente. La determinación de esta fórmula se deja como ejercicio para el lector.

29.4 EL MÉTODO DEL VOLUMEN DE CONTROL

Para resumir, el método por diferencias finitas o series de Taylor divide al continuo en
nodos (figura 29.12a). La ecuación diferencial parcial correspondiente se escribe para
cada uno de estos nodos. Las aproximaciones por diferencias finitas, entonces, se susti-
tuyen por las derivadas para llevar las ecuaciones a una forma algebraica.
Un procedimiento de esto es bastante simple y directo con mallas ortogonales (es
decir, rectangulares) y coeficientes constantes. Sin embargo, este procedimiento se
vuelve un poco más complicado cuando se tiene derivadas como condiciones de fronte-
ras con forma irregular.
En la figura 29.13 se muestra un ejemplo de un sistema donde se presentan dificul-
tades adicionales. La placa está hecha de dos materiales diferentes y los espacios en la
malla son diferentes. Además, la mitad de su extremo superior está sujeta a transferencia
de calor convectivo; mientras que la otra mitad está aislada. Obtener las ecuaciones para
el nodo (4, 2) requeriría algunas deducciones adicionales, que van más allá de los mé-
todos desarrollados hasta este punto.

FIGURA 29.12
Dos perspectivas diferentes para obtener soluciones aproximadas de las EDP: a) diferencias
fi nitas y b) volumen de control.

a) Método por diferencias b) Método del volumen
finitas punto por punto de control

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