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884 DIFERENCIAS FINITAS: ECUACIONES ELÍPTICAS

Al sustituir los valores de los parámetros, obtenemos la ecuación final del balance
de calor. Por ejemplo, si ∆z = 0.5 cm, h = 10 cm, k′ = 0.3 cal/(s · cm · °C), k′ = 0.5
a b
2
cal/(s · cm · °C), y h = 0.1 cal/(s · cm · °C), la ecuación se convierte en
c
0.5875T – 0.075T – 0.25T – 0.1375T = 2.5
42 41 43 32
Para hacer la ecuación comparable con el laplaciano estándar, ésta se multiplica por
4/0.5875, de modo que el coeficiente del nodo base tenga un coeficiente igual a 4,
4T – 0.510638T – 1.702128T – 0.93617T = 17.02128
42 41 43 32
En los casos estándar vistos hasta ahora, los métodos del volumen de control y de
diferencias finitas punto por punto llegan a resultados idénticos. Por ejemplo, en el nodo
(1, 1) de la figura 29.13, el balance sería
T 11 – T 01 T – T T 11 – T 10 T – T
0 = –k a ′ hz ∆ + ′ k a 21 11 hz ∆ – a ′ k hz ∆ + ′ k a 12 11 hz ∆
h h h h
que se simplifica al laplaciano estándar,
0 = 4T – T – T – T – T
11 01 21 12 10
Veremos otros casos estándar (por ejemplo, la derivada en la condición de frontera) y
exploraremos en detalle el método del volumen de control en los problemas del final de
este capítulo.

29.5 SOFTWARE PARA RESOLVER ECUACIONES ELÍPTICAS

Modificar un programa computacional para incluir las derivadas en las condiciones de
frontera para sistemas rectangulares es una tarea relativamente sencilla. Únicamente con-
siste en asegurar que se generan ecuaciones adicionales para caracterizar a los nodos fron-
tera donde se especifican las derivadas. Además, hay que modificar el código de tal forma
que estas ecuaciones incorporen la derivada como se indica en la ecuación (29.20).
Desarrollar un software general que caracterice los sistemas con fronteras irregu-
lares es mucho más difícil. Por ejemplo, se necesita un algoritmo bastante complicado
para modelar la simple junta ilustrada en la figura 29.15. Esto significará dos grandes

FIGURA 29.15
Una malla de diferencias
fi nitas sobrepuesta a una
junta de forma irregular.

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