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888 DIFERENCIAS FINITAS: ECUACIONES PARABÓLICAS

t

i, l + 1
i – 1, l i, l i + 1, l

i, l – 1

0, 0
m + 1, 0 x

FIGURA 30.2
Una malla utilizada para la solución por diferencias fi nitas de las EDP parabólicas con
dos variables independientes, por ejemplo la ecuación de conducción del calor. Observe
como, a diferencia de la fi gura 29.3, la malla está abierta en los extremos en la dimensión
temporal.

Sustituyendo la ley de Fourier para la conducción del calor [ecuación (29.4)] se obtiene
∂ 2 T ∂ T
k = (30.1)
x ∂ 2 t ∂
que es la ecuación de conducción del calor.
De la misma manera que con las EDP elípticas, las ecuaciones parabólicas se re-
suelven sustituyendo las derivadas parciales por diferencias divididas finitas. Sin em-
bargo, a diferencia de las EDP elípticas, debemos considerar cambios tanto en el tiempo
como en el espacio. Mientras que las ecuaciones elípticas están acotadas en todas las
dimensiones, las EDP parabólicas están temporalmente abiertas en los extremos (figura
30.2). Debido a su naturaleza variable en el tiempo, las soluciones de estas ecuaciones
presentan problemas nuevos, notablemente estables. Éste y otros aspectos de las EDP
parabólicas se examinarán en las secciones siguientes, donde presentamos fundamen-
talmente dos métodos de solución: los esquemas explícitos y los implícitos.

30.2 MÉTODOS EXPLÍCITOS

La ecuación de conducción del calor requiere aproximaciones de la segunda derivada en
el espacio, y de la primera derivada en el tiempo. La segunda derivada se representa, de
la misma manera que la ecuación de Laplace, mediante una diferencia dividida finita
centrada:

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