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CAPÍTULO 30

Diferencias fi nitas:

ecuaciones parabólicas

En el capítulo anterior tratamos las EDP en estado estacionario. Ahora veremos las
ecuaciones parabólicas que se emplean para caracterizar problemas que varían con el
tiempo. En la última parte de este capítulo, ilustraremos cómo se desarrollan estos pro-
blemas en dos dimensiones espaciales para la placa calentada. Antes, mostraremos cómo
se aborda el caso unidimensional más simple.

30.1 LA ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN DE CALOR

De manera similar a la deducción de la ecuación de Laplace [ecuación (29.6)], se puede
utilizar la conservación del calor para desarrollar un balance de calor del elemento di-
ferencial, en la barra larga, delgada y aislada que se muestra en la figura 30.1. Sin em-
bargo, en lugar de examinar el caso en estado estacionario, este balance también
considera la cantidad de calor que se almacena en el elemento en un periodo ∆t. El ba-
lance tiene la forma, entradas – salidas = acumulación, o

q(x) ∆y ∆z ∆t – q(x + ∆x) ∆y ∆z ∆t = ∆x ∆y ∆zrC ∆T
Dividiendo entre el volumen del elemento (= ∆x ∆y ∆z) y entre ∆t se obtiene
qx() − qx( + ∆ x) = ρ ∆ T
∆ x C t ∆

Tomando el límite se llega a

− ∂q = Cρ ∂T
∂x ∂t

FIGURA 30.1
Una barra delgada y aislada en todos los puntos excepto en sus extremos.

Caliente Frío

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