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3.4 ERRORES DE REDONDEO 69

epsilon = 1 ocurre cuando se prueba la convergencia de cantidades, así como en los mecanismos
DO para detener procesos iterativos (véase el ejemplo 3.2). En estos casos deberá ser claro
IF (epsilon+1 ≤ 1)
que más que probar si las dos cantidades son iguales, es recomendable probar si su di-
EXIT
ferencia es menor que una pequeña tolerancia aceptable. Además, deberá ser evidente
epsilon = epsilon/2
que más que la diferencia absoluta, deberá compararse la diferencia normalizada, en
END DO
especial cuando se trabaja con números de gran magnitud. El épsilon de la máquina,
epsilon = 2 × epsilon
además, se emplea al formular criterios de paro o de convergencia. Esto asegura que los
FIGURA 3.9 programas sean portátiles, es decir, que no sean dependientes de la computadora sobre
Seudocódigo para deter- la cual se hayan implementado. En la figura 3.9 se presenta un seudocódigo que auto-
minar el épsilon de la má- máticamente determina el épsilon de la máquina en una computadora binaria.
quina en una computadora
binaria. Precisión extendida. Aquí se debe observar que, aunque los errores de redondeo
llegan a ser importantes en contextos tales como pruebas de convergencia, el número de
dígitos significativos que tiene la mayoría de las computadoras permite que muchos
cálculos de ingeniería se realicen con una precisión más que aceptable. Por ejemplo, el
sistema numérico hipotético de la figura 3.7 es una enorme exageración que se usó con
propósitos ilustrativos. En las computadoras comerciales se utilizan conjuntos mucho
más grandes y por consiguiente se permite que los números queden expresados con una
precisión adecuada. Por ejemplo, las computadoras que usan el formato IEEE permiten
24 bits para ser usados por la mantisa, lo cual se traduce en cerca de siete cifras signifi-
1
39
cativas de precisión en dígitos de base 10 con un rango aproximado de 10 –38 a 10 .
Se debe reconocer que aún hay casos donde el error de redondeo resulta crítico. Por
tal razón muchas computadoras permiten la especificación de precisión extendida. La
más común de estas especificaciones es la doble precisión, en la cual se duplica el nú-
mero de palabras utilizado para guardar números de punto flotante. Esto proporciona
308
de 15 a 16 dígitos decimales de precisión y un rango aproximado de 10 –308 a 10 .
En muchos casos el uso de cantidades de doble precisión llega a reducir, en gran
medida, el efecto del error de redondeo. Sin embargo, el precio que se paga por tales
medidas remediales consiste en mayores requerimientos de memoria y de tiempo de
ejecución. La diferencia en el tiempo de ejecución de un cálculo pequeño podría parecer
insignificante. No obstante, conforme los programas van siendo cada vez más grandes
y complicados, el tiempo de ejecución agregado se vuelve más considerable y repercute
de manera negativa para resolver el problema en forma efectiva. Por lo tanto, la precisión
extendida no debería utilizarse en forma generalizada. Por el contrario, deberá ser em-
pleada en forma selectiva, donde se obtenga un máximo beneficio al menor costo en
términos de tiempo de ejecución. En las siguientes secciones veremos más de cerca cómo
los errores de redondeo afectan los cálculos y ello nos servirá para comprender los fun-
damentos que nos guíen en el uso de la capacidad de la doble precisión.
Antes de proseguir, debemos observar que algunos paquetes de software de uso
común (por ejemplo, Excel o Mathcad) normalmente utilizan doble precisión para re-
presentar las cantidades numéricas. Así, quienes desarrollaron estos paquetes decidieron
reducir los errores de redondeo sacrificando velocidad para usar una precisión extendi-
da. Otros, como el MATLAB, permiten usar la precisión extendida, si se desea.

1 Observe que, de hecho, únicamente 23 bits se emplean en la memoria para la mantisa. Sin embargo, debido a
la normalización, el primer bit de la mantisa es siempre 1 y, por lo tanto, no se guarda. Así, el primer bit junto
con los 23 bits de memoria dan 24 bits en total para la precisión de la mantisa.

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