Page 958 - Chapra y Canale. Metodos Numericos para Ingenieros 5edición_Neat

934 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

La figura 32.1 muestra un reactor alargado con una sola entrada y una salida. Este
reactor puede caracterizarse como un sistema de parámetros distribuidos. Si se supone
1
que la sustancia química que va a modelarse está sujeta a un decaimiento de primer
orden, y el tanque está bien mezclado vertical y lateralmente, se realiza un balance de
masa en un segmento finito de longitud ∆x, como sigue
∆ c ⎡ ∂ cx () ⎤ ∂ cx ()
()
V = Qc x () – Q c x + ∆ x – DA
⎢
⎥

x ∂
t ∆ Flujo de entrada ⎦
x ∂
c
⎣

Flujo de salida Dispersión a la entrada
∂ ⎡ cx () ∂ ∂ cx () ⎤
+ DA c ⎢ + ∆ x – (32.1)
kVc
⎥
x ∂
x ∂
x ∂
⎣

⎦ Reacción de decaimiento
Dispersión a la salida
3
3
3
donde V = volumen (m ), Q = flujo volumétrico (m /h), c = concentración (moles/m ),
2
D es un coeficiente de dispersión (m /h), A es el área de la sección transversal del reac-
c
–1
2
tor (m ) y k es el coeficiente de decaimiento de primer orden (h ). Observe que los
términos de dispersión están basados en la primera ley de Fick,
c ∂
Flujo = –D (32.2)
x ∂
que es análoga a la ley de Fourier para la conducción del calor [recuerde la ecuación
(29.4)]. Esta ecuación especifica que la turbulencia de mezclado tiende a mover la masa
desde regiones de alta hasta las de baja concentración. El parámetro D, por lo tanto,
determina la magnitud de la turbulencia de mezclado.
Si ∆x y ∆t tienden a cero, la ecuación (32.1) será
2
∂c ∂ c ∂c
= D – U – kc (32.3)
∂t ∂x 2 ∂x
donde U = Q/A es la velocidad del agua que fluye a través del reactor. El balance de
c
masa de la figura 32.1, por lo tanto, se expresa ahora como una ecuación diferencial
parcial parabólica. En ocasiones, a la ecuación (32.3) se le llama la ecuación de advec-
ción-dispersión con reacción de primer orden. En estado estacionario, se reduce a una
EDO de segundo orden,
2
2
dc dc
0 = D – U – kc (32.4)
dx 2 dx
Antes de t = 0, el reactor se llena con agua libre de la sustancia química. En t = 0,
se inyecta la sustancia química en el flujo de entrada del reactor a un nivel constante de
c . Así, se tienen las siguientes condiciones de frontera:
en
c ∂
Qc = Qc − DA c x ∂ 0
en
0
1 Es decir, la sustancia química decae a una velocidad que es linealmente proporcional a la cantidad de sustancia
química presente.
Chapra-32.indd 934
6/12/06 14:05:42
Chapra-32.indd 934 6/12/06 14:05:42