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936 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

que al sustituirse en la ecuación (32.6) se obtiene

⎛ 2D kx∆ ∆ xU ⎞ ⎛ D ⎞ ⎛ ∆ xU ⎞
⎜ ⎝ Ux∆ + U + 2 + D ⎠ ⎟ c – ⎜ ⎝ Ux∆ ⎠ ⎟ c = ⎝ 2 + D ⎠ c en (32.7)
0
1
Se puede realizar un desarrollo similar para la salida, donde la ecuación en diferen-
cias original es

⎛ D ⎞ 1 ⎛ 2 D kx∆ ⎞ ⎛ D ⎞ 1
– ⎜ ⎝ Ux∆ + ⎟ ⎠ 2 c n –1 + ⎜ ⎝ Ux∆ + U ⎠ ⎟ c n – ⎜ ⎝ Ux∆ – ⎟ ⎠ 2 c n+1 = 0 (32.8)

La condición de frontera a la salida es
dc
Qc – DA n = Qc
n c n
dx
Como en la entrada, se utiliza una diferencia dividida para aproximar la derivada,
c – c
Qc – DA c n+1 n–1 = Qc n (32.9)
2 ∆ x
n
Una inspección de esta ecuación nos lleva a concluir que c = c . En otras palabras,
n+1 n–1
la pendiente a la salida debe ser cero para que se satisfaga la ecuación (32.9). Sustitu-
yendo este resultado en la ecuación (32.8) y simplificando, se tiene

⎛ D ⎞ ⎛ 2 D kx∆ ⎞
– ⎜ ⎟ c n –1 + ⎜ + ⎟ c = 0 (32.10)
n
⎝ Ux∆ ⎠ ⎝ Ux∆ U ⎠
Las ecuaciones (32.5), (32.7) y (32.10) forman ahora un sistema de n ecuaciones
tridiagonales con n incógnitas. Por ejemplo, si D = 2, U = 1, ∆x = 2.5, k = 0.2 y c = 100,
en
el sistema es

⎡ 535. – 16. ⎤⎧c 0 ⎫ ⎧ 325⎫
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪
c
03
13
⎢ –. 21. –. ⎥⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪
1
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎢ –. 21. –. ⎥ ⎨ c 2 ⎬ = ⎨ 0 ⎬
03
13
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
03 c
⎢ –. 21. –. ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪
13
3
⎢ ⎣ –. 21. ⎥⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪
⎩
c
⎭
4⎭
⎦⎩
16
de donde se obtiene
c = 76.44 c = 52.47 c = 36.06
0 1 2
c = 25.05 c = 19.09
3 4
La gráfica de estos resultados se muestra en la figura 32.2. Como se esperaba, la con-
centración disminuye debido a la reacción de decaimiento, conforme la sustancia quí-
mica fluye a través del reactor. Además del cálculo anterior, la figura 32.2 muestra otro
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