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32.2 DEFLEXIONES DE UNA PLACA 939

La ecuación (32.11) se reexpresa como

2
2
∂ u + ∂ u = q
∂x 2 ∂y 2 D (32.13)
Por lo tanto, el problema se reduce a resolver de manera sucesiva dos ecuaciones de
Poisson. Primero, de la ecuación (32.13) se obtiene u sujeta a la condición de frontera
u = 0 en los extremos. Después, los resultados se emplean junto con
2
2
∂ z + ∂ z
∂x 2 ∂y 2 = u (32.14)
para obtener z sujeta a la condición de que z = 0 en los extremos.
Desarrolle un programa computacional para determinar las deflexiones de una
placa cuadrada sujeta a una carga constante por unidad de área. Pruebe el programa con
–2
2
una placa de 2 metros de longitud en sus extremos, q = 33.6 kN/m , s = 0.3, ∆z = 10
11
m y E = 2 × 10 Pa. Emplee ∆x = ∆y = 0.5 m para su corrida de prueba.
Solución. Las diferencias divididas finitas se emplean para sustituir cada uno de los
sumandos en la ecuación (32.13) para dar
u – 2 u + u u – 2 u + u q
i+1, j ij, i 1– , j + ij+1, ij, ij 1, – =
∆ x 2 ∆ y 2 D (32.15)

4
La ecuación (32.12) se utiliza para calcular D = 1.832 × 10 N/m. Este resultado, junto
con los otros parámetros del sistema, sustituyen en la ecuación (32.15) para obtener
u + u + u + u – 4u = 0.458
i+1,j i–1,j i,j+1 i,j–1 i,j
Esta ecuación se puede dar para todos los nodos con las fronteras en u = 0. Las ecuacio-
nes resultantes son

⎡ –4 1 1 ⎤⎧ u , 11 ⎫ ⎧0 458. ⎫
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ 1 –4 1 1 ⎥⎪ u , 21 ⎪ ⎪ 0 458. ⎪
⎢ 1 –4 1 ⎥⎪u ⎪ ⎪0 458. ⎪
, 31
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ 1 –4 1 1 ⎥⎪ u , 12 ⎪ ⎪ 0 458. ⎪
⎪
⎪
⎪
⎢ 1 1 –4 1 1 ⎥ u , 22⎬ = ⎨ 0 458. ⎪
⎬
⎨
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ 1 1 –4 1 ⎥ ⎪ u , 32 ⎪ ⎪ 0 458. ⎪
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ u , 13 ⎪ ⎪0 458. ⎪
⎢ 1 –4 1 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢ 1 1 –4 1 ⎥ u , 23 ⎪ ⎪ 0 458. ⎪
⎪
⎢ ⎥
⎪
⎭
, 33 ⎭
⎪0 458.
⎣ 1 1 –4 u ⎪ ⎩ ⎪
⎦⎩
de las cuales se obtiene
u = –0.315 u = –0.401 u = –0.315
1,1 1,2 1,3
u = –0.401 u = –0.515 u = –0.401
2,1 2,2 2,3
u = –0.315 u = –0.401 u = –0.315
3,1 3,2 3,3
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