Page 1051 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

这个式子看起来很不舒服. 而且这个 c 究竟是什么呢？其实, 我们以前

见过类似的情况. 回顾 11.3 节对中值定理 (MVT) 的讨论. 由 MVT, 若

f 在区间 [a, b] 上足够光滑, 则在 [a, b] 上存在一个数 c(其值一般不

能确定), 使得

若将 b 换为 x, 并解出 f (x), 可得

其中 c 介于 a 和 x 之间. 现在回到泰勒定理那个最后的等式并令 N =

0. P (x) 是什么？就是 f (a). 那 R (x) 呢？根据泰勒定理,
0
0

其中 c 介于 a 和 x 之间. 则泰勒定理 (N = 0) 有

这就是 MVT 的内容! 所以, 泰勒定理基本上是中值定理的扩展. 另外,

这里说 c 介于 a 和 x 之间而不是 a ≤ c ≤ x, 是因为 x 也可能比 a

小, 那样的话, 我们将会有 x ≤ c ≤ a.