Page 1068 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

24.3 一个有用的极限

这一节跟幂级数没有关系, 只是关于前面几节中用过两次的极限的证

明：

对所有实数 x 成立. 令 n = N + 1 (就像积分中的换元), 则与证明

对所有实数 x 成立一样. 有一些方法可证明后一个结论, 不过这有一个

不显眼的方法. 我先来解释一下要用到的逻辑, 然后再用该方法. 我将

证明级数

x
收敛, 不必考虑 x 是什么. (是的, 我们 “知道” 它其实收敛于 e , 但这
是等到我们证明极限为 0 之后才知道的!) 不管怎样, 级数收敛于什么

没关系, 仅仅知道级数收敛就足够了. 为什么？因为那样的话, 第 n 项

n
x /n! 一定随着 n 趋于 ∞ 而趋于 0, 否则第 n 项判别法就不对了. 即,

若通项随着 n 趋于 ∞ 不趋于 0, 则级数将发散. 因此我们用比式判别