Page 1063 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

所以 f (x) 等于它的泰勒级数! 换句话说, 若想证明一个函数在某些数

x 处等于它的泰勒级数, 可尝试证明当 N → ∞ 时 R (x) → 0.
N

x
我们对 f (x) = e , a = 0 做这些讨论. 通过改动 24.1.4 节提到

的一些结论, 你应该可知

以及对于介于 x 和 0 之间的某些 c,

现在我们需要求 R (x) 当 N → ∞ 的极限并说明该极限为 0：
N

在 24.3 节, 我将证明

c
对任意 x 成立. 我们要对因子 e 多加小心, 因为它依赖于 N . 问题是,
c
c
e 会有多大？要知道 c 介于 x 和 0 之间. 若 x 为负, e 的最大值可能
c
c
出现在 c = 0, 意味着 e ≤ 1; 若 x 为正, e 的最大值可能出现 c =
x
c
x, 意味着 e ≤ e . 不管是哪种情况, 因为 x 是固定的 (即, 看作常数),
c
我们可以有 0 ≤ e ≤ C, 其中 C 是另一个常数. 无论 N 为何值都成