Page 1064 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

立, 即便 c 随着 N 的改变而在 x 和 0 之间变动. 不管怎样, 希望你相

信这些, 由此你就会相信

现在左边和右边都随着 N 趋于 ∞ 而趋于 0, 所以由三明治定理知, 中

间的量也趋于 0. 我们已然证明了

对任意实数 x 成立. 这就意味着我们最终证明了

对所有实数 x 成立.

我们通过求 f (x) = cos(x) 的麦克劳林级数并证明它对所有 x 都

收敛于 f (x), 来讨论一下详细过程. 首先需要对 f 连续求导, 然后将 0

代入每个导数看一下会发生什么. 当对 cos(x) 关于 x 连续求导时, 得

到 - sin(x), 然后是 - cos(x), 之后重复出现 sin(x), cos(x), - sin(x),

- cos(x), … , 且显然会循环下去. 当将 x = 0 代入时, sin(x) 项没了,

± cos(x) 项变为 ±1, 所以数列 f (n) (0) 为

若将这些数代入麦克劳林公式, 得到