Page 1099 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

25.4 误差估算的另一种方法

回想一下交错级数判别法 (见 22.5.4 节). 该判别法表明若级数是交

错的, 且各项的绝对值递减趋于 0, 则级数收敛. 收敛的原因是, 部分和

与真实极限值之间就如儿童摇摇乐车：这个部分和大点, 下一个部分

和小点, 再下一个部分和大点, 等等. 每次, 部分和都更接近真实极限

值, 就像摇摇乐车正在失去动力. 方法就是在级数中的每个点, 每加一

项都超越真实值, 所以整个误差小于下一项的绝对值.

我们用符号来表述. 假设从某函数 f 开始, 求它关于 x = a 的泰勒级

数. 若碰巧你还知道级数对某些特定的 x 值收敛于 f (x)(就像我们讨

论的一些函数一样), 则可以写为

对那些你感兴趣的特定的 x 值, 上述级数若是各项绝对值递减趋于 0

的交错级数, 则误差小于下一项. 即

这里没有讨厌的 c, 这足以成为我们运用这个理想结论的原因. 记住,

上述结论只有当级数满足交错级数的三个条件时才成立!