Page 1101 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

现在求积分并计算在端点处的值：

尝试将上式用求和号表示是一个很好的做法. 总之, 现在可将 x

= 1 代入得

说实话, 这里我将两个更快的方法放在了一起. 首先, 我将 cos(t) 用它

的麦克劳林级数代替. 还好我们已经在 24.2.3 节知道这对所有 t 都成

立. 其次, 我对无穷级数逐项求积分, 并声明对所有 x 都可以这么做.

我们将在 26.2.3 节看到这么做是可以的 (虽然我们不会对其证明).

总之, 上面的等式是正确的. 现在给定的积分有一个无穷级数的表达

式.

现在唯一的问题是, 要求与真实值误差在 1/3 000 内的近似值需取多

少项？注意该级数是各项递减趋于 0 的交错级数, 那么我们可以运用

下一项的绝对值大于误差的结论. 例如, 若用首项 1/2! 近似积分, 则

误差不大于 1/(3 × 4!), 即 1/72. 这也太大了. 那用前两项来近似该

积分怎么样？即,