Page 1097 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

精确到 1/2 400 000 000 之内.

25.3.6 误差项估算的一般方法

在前面所有例子中, 我们都要对在某区间内取值的 c 来估算 |f (N +1)

(c)|. 我们总结下一般的对策.

(1) 不管 c 是多少, 你总能使用标准的不等式 |sin(c)| ≤ 1 和

|cos(c)| ≤ 1.

(2) 若函数 f (N +1) 是递增的, 则它的值在右端点最大. 在前两个例子

c
c
中, 我们要求 e 的最大值, 其中 0 < c < 1/3. 由于 e 关于 c 递增,
c
所以可以说 e < e 1/3 . 另一方面, 在 24.1.4 节的例子中, 我们也需要

c
c
最大化 e , 不过那次 -1/10 < c < 0. 同样, 由于 e 关于 c 递增, 因
0
0
c
而这个最大值就是 e = 1, 即 e < e = 1.

(3) 若函数 f (N +1) 是递减的, 则它的最大值 f (N +1) (c) 出现在区间的

4
左端点. 例如, 若已知 c 介于 1 和 5 之间, 则最大值 1/(3 + c) 出现
4
在区间 [1, 5] 的左端点, 因为 1/(3 + c) 关于 c 递减. 所以上面的表

4
达式在 c = 1 时最大, 相应的值为 1/4 = 1/256.

(4) 一般地, 为了求最大值, 可能还要求函数 f (N +1) 的临界点. (具体

求法见 11.1.1 节.)