Page 1104 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

26.1 幂级数的收敛性

假定有一个关于 x = a 的幂级数

由几何级数的例子可见, 一个幂级数可能对某些 x 收敛, 而对某些 x 发

散. 我们想问的一个问题是：对上面给定的幂级数, x 取何值时收敛, 取

何值时发散？另外, 假设级数对某特定的 x 收敛, 若能确定该收敛是绝

对收敛还是条件收敛就好了. 所以, 我们来看一下可能会发生什么, 然

后好好利用这些观察所得结果.

26.1.1 收敛半径

我们想知道什么样的 x 能使幂级数 收敛. 表面上看, 我们

似乎必须回答无穷多个问题, 因为有无穷多个 x 的值需要代入并验证级

数收敛与否. 我们画一个数轴来表示 x 的不同值. 对每个使级数收敛的

x, 都在它上面打个对号; 而对使级数发散的 x 就打个叉号. (当然, 我们

不是对每个 x 都这么做, 若如此, 图就太挤了! 只标一部分, 得到结论就

可以了.) 例如, 几何级数 时收敛, 其他情况均发散, 如图 26-1 所

示.