Page 1133 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

26.3 利用幂级数和泰勒级数求导

回忆 f (x) 关于 x = a 的泰勒级数的第 n 项系数公式：

两边同乘 n! 得到：

用语言描述, 意思是

所以若知道一个函数关于某点 a 的泰勒级数, 就可以很容易地求得该函

数在 a 点的导数. 这就是你的全部所得! 这里并没有任何关于其他 x 值

的导数值的信息, 只有 x = a. (其实, 为求第 n 阶导数, 只需要一个在

x = a 的 n 阶或更高阶的泰勒多项式, 而不是整个泰勒级数.)

为了应用上面的方程, 需先求给定函数的一个合适的泰勒级数. 前

2
x
几节的方法也很有用的. 例如, 假设 f (x) = e , 我们欲求 f (100) (0)

2
x
和 f (101) (0). 我们从求 e 的麦克劳林级数开始：