Page 1129 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

化简可得

26.2.5 泰勒级数相乘

你也可以将两个泰勒级数相乘, 从而得到一个收敛于两个函数之积

的新级数, 至少该级数在两个泰勒级数收敛区域的交集收敛. 用求和号

形式书写这些会很乱, 且通常会有两个求和号. 一般地, 大家只关注级

x
数的前面几项. 例如, 求 f (x) = e sin(x) 的三阶及以下的麦克劳林级

x
数. 欲求该问题, 写出 e 和 sin(x) 的三阶及以下的级数, 相乘, 然后略

去所有大于三阶的项：

有一个略去无用项的技巧. 例如, 分别略去第一个和与第二个和中的项

4
3
x 和 - x /6 的乘积, 因为我意识到它们之积会得到一个含 x 的项, 而
这不是我关心的项, 因为我只需要到三阶的项. 若我要关心到四阶的项,

则必然要关注更多的项.

事实上, 不要把注意力集中在次数大于原函数级数的阶的项, 这点很重

x
要. 例如, 取 e 关于 0 的二阶泰勒多项式