Page 1134 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

根据前面方框中的公式,

f (100) (0) = 100! × (上述麦克劳林级数中 x 100 的系数).

那么麦克劳林级数中 x 100 的系数是什么？看上面的麦克劳林级数, 可

知系数就是 1/(50!), 或者更正式地说, 你能够算出 n 的什么值对应

2n
x 100 . 特别地, 我们想确定 x 100 的倍数 x /n!, 而这就意味着 2n =

100, 所以 n = 50, 对应的项为 x 100 /(50!). 故系数是 1/(50!). 于是

(不要犯将最后的表达式化简为 2! 的错误, 阶乘不是这样算的.) 现在想

一想, f (101) (0) 又怎么求呢？它等于上述级数中 x 101 系数的 101!

倍. 那个系数是什么？等一下, 级数中没有奇次幂! 换一种方式思考, 什

么样的 n 值对应 x 101 ？需要解 2n = 101, 但 n 必须为整数, 所以没

有幂 x 101 . 那就意味着 x 101 的系数为 0, 所以

好吧, 我们来看一个更难的例子. 在 26.2.3 节, 我们发现函数

的麦克劳林级数是