Page 1135 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

这个级数对所有的 x 都收敛于 f (x). 现在要问: f (50) (0) 是什么？f

50
(52) (0) 呢？为了求出这些, 我们需要知道前面 f (x) 的级数中 x 和

52
50
x 的系数. 要知道, f (50) (0) 是 f (x) 麦克劳林级数中 x 系数的
50! 倍, 当然, 除了处处用 52 代替 50 之外, f (52) (0) 也同理.

52
50
为了求上面级数中 x 0 和 x 的系数, 需要将级数写出至足够长以便
于理解. 更好的方法是将级数用求和号表示. 之前我已经让你练习过,

这里是相应的做法. 注意 x 的幂为 4, 10, 16, 22, …. 这意味着幂次从

4 开始, 每次增长 6. 所以, 指数为 6n + 4, 其中 n 取值为 0, 1, 2, 3,

…. 现在来看分母, 它是 6n + 4 与某奇数阶乘的乘积. 其中奇数为 1,

3, 5, 7, …, 故分母是 (6n + 4)(2n + 1)!. 最后, 各项以正项开始, 正

n
负交错, 所以应该还有 (-1) . 现在, 我们得到

52
50
现在来求 x 和 x 的系数. 对前者, 解 6n + 4 = 50 得到 n =
50
23/3, 它不是整数, 所以 x 的系数为 0. 意味着

52
另外对 x , 解 6n + 4 = 52 得到 n = 8, 故我们可以通过观察 n =
52
8 时的结果来确定 x 的系数. 和式中 n = 8 的项是