Page 1142 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

, 当 x → 0

我们在 21.4.5 节提过这个结论, 与极限比较判别法联系起来是有用

的. 事实上, 上述等式甚至对 f 的麦克劳林级数关于 x = 0 不收敛的

情况也是成立的. 所以没必要讨论完整的麦克劳林级数：最低阶且非

0 的 f 关于 x = 0 的泰勒多项式足以了. 只有一个条件, f 的第 N + 1

阶导数在 0 附近有界. 下面是完整过程：根据泰勒定理, 我们有

N
其中 c 介于 0 和 x 之间. 现在两边同时除以 a x 可得
N

右边量 f (N +1) (c)/(a (N + 1)!) 的绝对值当 x → 0 时有界, 因为分
N

母是常数且我们已经假设分子是有界的. 现在可用三明治定理来证明

上述方程右边的最后一项在 x → 0 时趋于 0. 即,

也就是说：

, 当 x → 0

证毕. 怎样？我们不仅得到了一个利用极限比较判别法的便利工

具, 而且证明了前面的极限都是成立的. 例如, 为了真正证明极限