Page 1149 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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怎么求 x + 4y = 9 的参数化？画该方程的图像得到一个通过
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点 (±3, 0) 和 (0, ±3/2) 的椭圆. 若令 Y = 2y, 则 x + Y = 9. 这
是新坐标 (x, Y) 的圆, 所以可以用前面的参数化：x = 3 cos(θ) 和 Y

= 3 sin(θ), 0 ≤ θ < 2π. 现在只需写出 y = Y/2 来得到椭圆的参数

化

x = 3 cos(t) 和 , 其中 0 ≤ t < 2π

当然, 这不是唯一的参数化!

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那 x + y = 64 呢？这个曲线留给你来画, 你可以看到该图像
就像是一个膨胀的 “半径” 为 64 1/6 = 2 单位的圆. 这启发了我们可以

调整前面的圆的参数化. 首先, 我们需要将半径改为 2 单位：其实, x

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= 2 cos(t) 和 y = 2 sin(t) 适合圆 x + y = 4, 但不能参数化膨胀
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的圆, 因为 cos (t) + sin (t) = 1 一般不成立. 那怎么调整它呢？ 我
们可用 cos(t) 的某些次幂来替换它, 当对它们取 6 次方时, 可得

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cos (t). 这应该是 cos 1/3 (t). 所以, 若令 x = 2 cos 1/3 (t) 和 y = 2

sin 1/3 (t), 则应该可行. 我们来验证一下：

这正是我们想要的. 为了得到整个曲线, 如前面一样, 我们令 t 在 0 到

2π 间取值.