Page 1148 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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所以, 前面的这对参数方程描述了圆 x + y = 9, 至少 t 在一个足够
大的区间 (例如, [0, 2π)) 里取值时是这样的. 你可以说

x = 3 cos(t) 和 y = 3 sin(t), 其中 0 ≤ t ≤ 2π

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是 x + y = 9 的参数化. 现在, 我问你：x + y = 9 的图像与上
面参数化的图像一样吗？一样, 但也不一样. 当然, 两个图像看似是同
一个圆, 不过参数化图像能告诉你更多信息：圆是怎么画的. 若从 t =

0 开始且连续移动到 t = 2π, 则你就可以从 (3, 0) 开始并以不变的速

度沿逆时针方向画, 直到回到起点.

通过观察, 整件事情就像蜗牛移动和离开时留下的粘液轨迹. 只是从轨

迹并不足以看出蜗牛移动的方向 —— 它甚至可能往回走! 你也说不出

它沿着轨迹移动时不同时间处的速度. (“蜗牛步伐” 不是它移动快慢的

科学描述.) 借助参数化, 就像是知道了每一时刻蜗牛的位置一样, 能够

知道方向和速度等其他信息.

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那么, 上面的参数化是 x + y = 9 的唯一可能的参数化吗？当然不
是. 还有很多其他方法可以画出相同的圆. 例如, 令 x = 3 cos(2t) 和

y = 3 sin(2t), 现在只需令 t 在 0 到 π 间取值就能包含整个圆, 并且

这时的速度是原来的两倍. 亦或, 令 x = 3 sin(t) 和 y = 3 cos(t), 其

中 0 ≤ t < 2π. 现在又回到原来的速度了, 不过这次是从 (0, 3) 开始

以顺时针方向而不是逆时针方向运动. 可以通过描点来验证这些结论.