Page 1153 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

现在来看最棘手的例子 (至少从概念上讲是如此). 给定参数方程

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x = 4t - 4 和 y = 2t - 2t , t 为所有实数.

这些方程描述了 x-y 平面的一条曲线, 我们来求一下该曲线在原点的

任意切线方程. 注意我说的是 “任意” 而不是 “某个”. 这是有原因的!

我们来求一下原点对应的值. 在原点, x 和 y 的值都为 0, 故 x = 4(t 2

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- 1) = 0 和 y = 2(t - t ) = 0. 第一个方程仅当 t = 1 时成立, 故 t
值为 ±1; 这两个值都满足第二个方程. 结论是曲线在 t = 1 和 t = -1

时都过原点. 现在我们知道

当 t = 1, 我们有 dy/dx = -1/2, 所以切线过原点且斜率为 -1/2. 因

此对应的切线方程为 y = -x/2. 另一方面, 当 t = -1, 我们有 dy/dx

= 1/2, 此时的切线方程为 y = x/2. 下面通过曲线的图像来说明为什

么会是这样. 取一些 t 值并计算出相应的 x 和 y 值, 填表如下.

t -2 -1 0 1 2

x 12 5 0 -3 -4 -3 0 5 12

y 12 0 0 0 -12