Page 1182 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

28.1 基础

不能取 -1 的平方根着实有点令人失望. 然而, 我们接下来就要做这件

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事. 我们创造一个 -1 的平方根, 称之为 i. 这样我们就有了 i = -1. i

是 -1 唯一的平方根吗？不, 如果这个世界是公平的, -i 也应该是一个

平方根, 则

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(事实上, 世界是公平的, 这一系列等式是正确的.) 由于 i + 1 = 0 且

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(-i) + 1 = 0, 则二次方程 x + 1 = 0 有了两个根：但它们不是实
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根, 它们是虚根. 那 2i 呢？它也是虚的. 实际上, (2i) = 2 i = 4(-1)
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= -4, 所以 (2i) 是一个负数. 故, 我们说一个数是虚数, 意思是它的平

方是一个负数. 虚数的唯一形式为 y i, 其中 y 是不等于 0 的实数. 也

可用 iy 代替 y i 表示虚数.

现在, 你可以对实数和复数进行加减了, 如 2 - 3i, 但结果不能化简. 用

这种方法, 我们得到所有的复数, 即所有形为 x + iy 的数, 其中 x 和

y 为实数. 全体复数的集合通常用符号 来表示. 注意, 所有虚数都是

复数, 如 2i = 0 + 2i; 所有实数也都是复数, 如 -13 = -13 + 0i. 每

个复数都有实部和虚部. 若 z = x + iy, 则实部是 x, 虚部是 y, 分别

被写作 Re(z) 和 Im(z). 例如, Re(2 - 3i) = 2 和 Im(2 - 3i) = -3. 注