Page 1206 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

n
(3) 由于 z = w, 因而原方程可以写成 , 这里的 n、R 和

的值已知, 而 r 和 θ 是我们想求的 (所以它们作为变量出现);

n
(4) 分成两个方程：r = R 和 ;

(5) 第一个方程很容易求解：取 n 次方根可得 r = R 1/n ,

(6) 求解第二个方程可运用前面方框中的原理, 于是得 nθ = + 2πk,

其中 k 是整数;

(7) 用 n 除这个结果, 然后写出当 k = 0, 1, 2, … , n 0 1 时的所有不

同的 θ 值;

iθ
(8) 将 r 值和不同的 θ 值代入 z = r e , 得到 n 个不同的 z 值, 即为

解;

(9) 若有必要, 将每个解转换成笛卡儿坐标形式.

我们再看一个例子：i 的三次方根是多少？ 这个问题需求解方程

3
3
iθ
3 i(3θ)
z = i. 我们先写出 z = r e , 则 z = r e (第 1 步). 现在, 我们
3
需要将 i 转换成极坐标 (第 2 步), 我们已经知道 i = e iπ/2 . 由于 z =
3 i(3θ)
3
i, 因而我们有 r e = 1e iπ/2 (第 3 步). 这就导出方程 r = 1 和
e i(3θ) = e iπ/2 (第 4 步). 对第一个方程取三次方根, 可得 r = 1 (第 5

步), 再根据重要原理, 第二个方程解出 3θ = π/2 + 2πk, 其中 k 是整