Page 1240 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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因为 yx = y × y = y , 可验证得出为 8π 立方单位. 要确定你能画出
该例两种情况下的小条, 并验证上面公式的正确性. 同时也要注意积分

必须从 0 到 2, 而不是从 0 到 4：毕竟, 积分是关于 y(而非 x) 的, 而

y 的取值范围为 [0, 2], 如图所示.

29.1.5 变式 2：两曲线间的区域

如果要旋转的区域介于两曲线之间, 那么我们面对的将与 16.4.2 节求

两曲线间面积一样的情形. 一般方法是取顶部曲线下方到旋转轴的区域

进行旋转, 得到一个较大的立体; 再取底部曲线下方到旋转轴的区域进

行旋转, 得到较小的立体, 从较大立体中去掉较小立体, 得到的就是所

需的立体. 考虑图 29-13 中的三个区域.

图 29-13

我们要旋转的区域见左图, 它是顶部曲线下方到 x 轴 (中图) 的区域和

底部曲线下方到 x 轴区域 (右图) 之差. 不管是关于 x 轴还是关于 y 轴

旋转, 我们所求区域的旋转体体积都等于较大区域旋转体体积与较小区

域旋转体体积之差. 例如, 若该区域绕 x 轴旋转, 则得到一个类似截去