Page 1238 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

还偏着的) 会发生什么. 现在 y 轴和 x 轴交换了位置! 这就表明, 交换

x 和 y 变量是可行的, 假定你仍用 y 轴上的点做积分范围. 其实, 如果

对 29.1.3 节的公式 进行这个变换, 我们可以看到曲线到

y 轴的区域绕 y 轴旋转所得体积是 , 这与我们之前所求一致.

如果上面的区域绕 x 轴而不是绕 y 轴旋转呢？只需用 29.1.3 节

的壳公式 , 可知我们想要的体积是 . 这是有道理的,

因为将小条关于 x 轴旋转将得到一个厚 dy 、高 x, 半径为 y 个单位的

壳. 你应该画一下, 看看这个小条展开成薄片时会是什么样. 这个薄片

近似为一个立方体, 计算它的体积, 并确实得到 2πyx dy. 综上, 所得的

准则如下.

如往常一样, 任意画一个小条, 旋转, 计算所得体积, 积分是最可信

赖的方法. 上述准则只是个指导.