Page 1268 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

= r sin(θ), 所以用 f (θ) 代换 r, 可得 x = f (θ) cos(θ), y = f (θ)

sin(θ). 这里的 θ 即为参数, 所以我们可以使用参数版的弧长公式 (t 代

换为 θ). 我们需知道 dx/dθ 和 dy/dθ 是什么. 根据乘积法则,

和

现在需对这两个式子取平方并相加. 试一下吧! 你会发现有些项消

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掉了; 另外, sin (θ) + cos (θ) 项可用 1 代换. 综上, 可得到公式

顺便说一下, 你应该在表示弧长时带上单位.

我们来看一些例子. 假设要求曲线 y = ln(x) 的弧长, 其中 x 的取

值范围为 到 . 我们用前面的第一个公式可得