Page 1270 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

在讨论求表面积之前, 我还想谈谈关于参数坐标系下弧长公式的一点

事. 假设一只蚂蚁 (这次不是蜗牛!) 绕一个平地爬行, 我定义在时间 t

秒处的蚂蚁位置是 (x(t), y(t)). 那么, 蚂蚁在时间 t 的速率是多少？我

们知道速度是位移关于时间的导数. 因此蚂蚁在 x 方向的速度是

dx/dt, 在 y 方向的速度是 dy/dt. 它的实际速率需涉及这两个速度. 其

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实, 根据毕达哥拉斯定理, 我们应该有 ：

3 这里进入了向量范畴, 它属于关于多变量微积分的书所涉及的内容.

嘿, 这是在参数情况下求弧长时所积分的量啊! 确实, 要求蚂蚁爬过的

总距离, 需要对它的速率求积分. 因此, 现在弧长公式中的被积函数有

了意义, 至少在参数情形下是有意义的：它是质点在曲线上移动的瞬时

速率, 就像参数所描述的一样.

考虑前一节末的例子, 其中 . 根据前面

的探讨,

速率 .