Page 1269 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

这其实是个非常难的积分. 你一定要练习一下. 如果卡住了, 对策

是：从一个合适的三角换元开始. 若做对了, 积分对应的不定积分为

2
. 要求它, 可将分子表示为 sec(θ)(1 + tan (θ)), 将原

积分分成两个积分, 再用第 19 章的方法求解. 可验证所得弧长为

单位.

2
若弧长是由参数 x = 3t - 12t + 4 和 表述的, 其中 t

在 3 到 5 间取值, 该怎么求呢？我们需用参数版的公式. 事实上,

dx/dt = 6t - 12, , 故

弧长 .

2
现在, 我们来看被积函数的最里面部分, 其中有一个因子 6 可被提出

来, 得

现在将这个结果带入被积函数并作积分, 可得弧长为 72 单位. 这

就是一件简单的事了, 细节留给你完成!

参数化和速率