Page 1276 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

所有这些表面积的单位都是平方单位.

来看一个例子. 若从 x = 0 到 x = π/2 的曲线 y = cos(x) 关于

x 轴旋转, 我们需应用第 1 种情形中的公式, 可知表面积为

要求该积分, 首先令 t = sin(x), 然后用三角换元来求解新积分.

试一下, 算出来的表面积应为 平方单位.

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另一方面, 在 x = 0 和 间的抛物线 y = x /2 绕 y 轴

(非 x 轴) 旋转所得的表面积可用第 2 种情形中的公式求得. 由于

dy/dx = x, 表面积由

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给出, 做换元 t = 1 + x 后可算得 52π/3.

现在考虑以原点为中心、半径为 r 单位的上半圆. 参数形式为 x

= r cos(θ) 和 y = r sin(θ), 其中 θ 的取值范围为 0 到 π (只取到 π