Page 1274 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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2πy 单位乘以宽度). 结果表明 , 这个近似在极限中是可行的, 即将这
些环的表面积加起来, 并令环的宽度趋于 0 的极限. 所以, 我们由此得

到关于 x 轴旋转的原型公式：

4 所牵涉的计算有些令人生厌. 如果你想算的话, 可运用半径为 r 和 R, 高为 h 单位的圆台的

侧面积公式 平方单位.

表面积 (关于 x 轴旋转).

若旋转是关于 y 轴的, 则我们采用的环宽度不变, 但现在的半径是 x 而

不是 y 单位, 所以关于 y 轴旋转的原型公式是

表面积 (关于 y 轴旋转).

你也可以参照体积的变式 1 (见 29.1.4 节), 将第一个原型公式中的 x

和 y 对换来得到该公式.

不管怎样, 与弧长一样, 这些原型公式不能用于求任何表面积! 我们来

看一下如何修改才能使用它们.

(1) 假设我们关于 x 轴旋转曲线 y = f (x), 其中 x 取值范围为 a 到 b.

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我们从第一个原型公式中的被积函数中提出因子 (dx) 并将其提到根

号之外, 就像在讨论弧长时所做的一样, 得