Page 1280 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

这意味着所求得的解不仅要满足微分方程, 还要保证当 x = 0 时 y =

kx
5. 我们知道 y = A e 是微分方程 dy/dx = ky 的通解, 令 k = -2

即知上面微分方程的通解是 y = A e -2x , A 为常数. 现在代入 x = 0

和 y = 5 可知 5 = A e -2(0) , 可得 A = 5. 附带的信息 y(0) = 5 使得

我们能够确定 A 的值, 所以实际解为 y = 5e -2x .

我们刚才看的是 IVP(Initial Value Problem, 初值问题) 的例子. 其思

想是已知一个初始条件 (在这个例子中为 y(0) = 5) 和相关的微分方

程 (在这个例子中为 dy/dx = -2y), 你可以运用这两个条件来求无不

定常数的解. 对于一个二阶微分方程, 需积分两次, 所以你将得到两个

不定常数, 由此可知需要两条已知信息. 一般地, 这两条信息是 y(0)

的值和 y' (0) 的值 (x = 0 处的导数). 我们将在 30.4.2 节给出一些

例题.

现在, 微分方程的研究已相当广泛. 这些问题很难求解, 事实上, 基本

是不可能求解的, 至少一般是这样的. 幸运的是, 有一些简单的类型解

起来并不很麻烦. 我们将讨论其中三种：一阶可分离变量方程、一阶

线性方程、线性常系数方程.