Page 1277 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

是为了只取上半圆). 我们关于 x 轴旋转该半圆, 将得到一个球, 它的表

面积由情形 3 给出 (t 代换为 θ)：

2
2
2
现在可利用 sin (θ) + cos (θ) = 1 计算, 可得表面积为 4πr 平方单
位, 这就验证了传统公式.

最后, 我们来考虑类似于旋转体体积变式 3 的表面积 (见 29.1.6 节).

若旋转轴不是 x 轴, 而是直线 y = h(平行于 x 轴), 则圆柱形环的半径

是 y - h 单位 (而非 y 单位), 所以情形 1 中的公式需要做适当修改：

表面积 (关于 y = h).

(其实, 若曲线在直线 y = h 下方, 最好用 h - y 代替 y - h, 否则将得

到表面积为负的答案!) 同样, 你不能单纯地学习上面的公式, 而应理解

如何由已知推出该公式. 事实上, 你现在应该能够对前面所有的公式进

行适当改动, 正确处理关于 y = h 或 x = h 的旋转.

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