Page 1333 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

如果 且 , 那么 .

即, 和的极限等于极限的和. 它的另一种写法是

但在这里, 你必须非常仔细检验, 以确保右边的这两个极限是存在且有

限的. 如果其中一个极限是 ±∞ 或不存在, 就不能再运用上述公式了.

两个极限都必须是有限的, 也能确保可以相加. 如果它们不存在, 你或

许很幸运, 但这没有保证.

f (x) - g (x) 又如何呢？它应该是趋于 L - M 的. 确实如此：

如果 且 , 那么 .

该证明几乎和我们刚刚看到的那个差不多, 不过你需要一个略有

不同的三角不等式：|a - b| - |a| + |b|. 事实上, 这就是应用于 a 和 -

b 的三角不等式, 即 |a + (-b)| ≤ |a| + |-b|, 当然有 |-b| 等于 |b|.

现在就由你来重新写出以上论证, 但要将 f (x) 和 g (x) 以及 L 和 M

之间的加号改为减号.

A.2.2 极限的乘积及证明

现在, 我们再来假设两个函数 f 和 g 满足