Page 1334 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

且 .

我们想证明

即, 乘积的极限等于极限的乘积. 它的另一种写法是

我们同样要知道的是, 右边的这两个极限是存在的且为有限的. 为了求

证, 我们需要证明 f (x) g (x) 与 (希望中的) 极限 LM 的差是很小的.

我们来考虑差 f (x) g (x) - LM . 技巧是减去 Lg (x) 再加上它! 即,

我们会得到什么呢？我们来取绝对值, 然后使用三角不等式：

整理一下可写为

现在, 该玩游戏了. 你选取你的正数 ε, 然后我开始工作. 我将关注环绕

x = a 的极小区间, 以便 |f (x) - L| < ε 且 |g (x) - M| < ε. 事实上,

如果你选取 ε ≥ 1(一个十分无力的移动, 因为你想要 ε 非常小!), 那

么我甚至会继续坚持 |g (x) - M| < 1. 因此, 我们知道, 不管在哪种情