Page 1382 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

A.7 泰勒近似定理的证明

现在, 我们来看看如何证明 24.1.3 节中的泰勒近似定理吧. 该定

理说的是：如果 f 在 x = a 处是光滑的, 那么, 在所有 N 次或 N 次以

下的多项式中, 对于在 a 附近的 x 的 f (x) 的最佳近似就是 N 阶泰勒

多项式 P 它由下式给出：
N

我们的计划是, 证明该定理是如何从 24.1.4 节的完整泰勒定理中推导

出来的. 我省略了完整泰勒定理的证明, 因为从大多数教科书或在搜索

引擎上输入 “泰勒定理的证明” 能找到. 你不容易找到的是这个近似定

理的证明, 因此我们就来看看它吧.

首先, 让我们设 a = 0 来简化这个问题. 由于我们假设完整泰勒定理

已经被证明了, 因此可知 f (x) = P (x) + R (x), 其中
N
N

是一个 N 次多项式, 也知