Page 1384 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

→ 0, 故得出 f (N +1) (c) ~ f (N +1) (0). 将这三个因子写在一起并取

绝对值, 我们有

其中 x → 0. 事实上, 我们可以令 C = f (N +1) (0) / (N + 1)!, 要注意

C 只是某个不依赖于 x 的常数. 因此, 我们有

, 当 x → 0 时.

这太棒了. 现在, 我们来看看要证明的不等式的右边. 这个量是 |f (x) -

Q (x)|. 我们写出 f (x) = P (x) + R (x), 从而
N
N

其中, 我们通过设 S (x) = P (x) - Q (x) 将 P (x) 和 Q (x) 放在一
N
N
起. 让我们来好好看看 S. 它是两个次数不超过 N 的不同多项式的差.

因此, S 是一个次数小于或等于 N 的多项式, 但它不是零多项式. 我们

m
假设, 如果用 x 的幂来写 S (x), 它就好像 S(x) = a x + … , 其中
m
m
a x 是最低次数项. 数 m 必然介于 0 和 N 之间, 因为 S 的次数小
m
于或等于 N . 我们知道 S 的行为很像它的最低次数项的行为 (见

m
21.4.1 节). 即, 当 x → 0 时, S (x) ~ a x . 另一方面, 我们需要看
m
看 S (x) + R (x), 因为这是我们想要的不等式的右边. 我们已经看到
N

了, 当 x → 0 时 R (x) ~ Cx N+1 , 故 S (x) + R (x) 中的最低次数
N
N