Page 1385 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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项的行为仍会像 a x 一样 (请记住, m ≤ N , 故 x 是一个次数低
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于 x N +1 的项). 综述, 我们有

, 当 x → 0 时.

太棒了! 我们想要证明不等式

当 x 接近 0 时是成立的. 我们知道, 当 x → 0 时, |f (x) - P (x)| ~
N

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|C||x| N+1 及 |f (x) - Q (x)| ~ |a ||x| . 由于 m < N + 1(及 |C|
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与 |a | 都是常数), 易知当 x 很小时, |C||x| N+1 比 |a ||x| 小得多.
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事实上, 这两个量的比率是

其中 C = |C| / |a | 只是另一个常数. 当 x → 0 时, 右边的量趋于 0.
1
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因此, 当 x 接近 0 时, 以上不等式实际上是成立的. 最终我们完成了泰

勒近似定理的证明!

事实上, 有一点我们没有考虑：假设 a = 0. 为了由此推出一般情

况, 你只需在上述证明过程中每一处都用被平移的量 (x - a) 替换量 x.

你只需要注意, (x - a) → 0 和 x → a 是同一个意思. 我把证明细节留

给你来完成. 如果你能通过上述证明做到这点, 那你就太棒了.