Page 1377 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

(你可以将 x > a 改为 x ≥ a, 将 x ≤ a 改为 x < a ; 这无关紧要. )

不管怎样, 在 6.6 节中, 我们考虑了一个问题, 就是 f 是否在 a 上可

导. 我们假设如果函数 f 和 f 在 x = a 处互相匹配, 则它们的导数
2
1
和 在 x = a 处也互相匹配, 那么 f 在 a 上可导. 我们如何来证明

呢？首先要注意 f 和 f 在 x = a 处互相匹配的意思是
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2

这就确保了 f 至少是连续的. 现在, 我们还要假设它们的导数也互相匹

配, 这意味着 f 在最接近 a 的右侧是可导的, f 在最接近 a 的左侧是
2
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可导的, 以及

其中 L 是某个很好的有限数. 因此, 我们来考虑

其中 h 是某个很小的数且 h ≠ 0. 如果 h > 0, 那么我们可以应用中

值定理 (见 11.3 节) 得到

其中 c 是介于 a 和 a + h 之间的某个数. (这里我们需要 f 在 [a, a +

+
h] 上的连续性. ) 根据三明治定理, 当 h → 0 时, 数 c 就被夹在 a 和

+
+
a + h 之间, 故当 h → 0 时有 c → a . 我们现在看到