Page 1378 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

同理得左极限, 只是我们要使用 代替 ：

左极限和右极限都等于 L, 因此, 我们证明了 f' (a) 存在且它也等于 L.

A.6.11 洛必达法则的证明

我们来证明洛必达法则 (见第 14 章). 确切地说, 假设我们有两个函数

f 和 g, 它们在某个包含点 a 的区间上可导 (但或许不在 a 本身), 且 f

(a) = g (a) = 0; 此外, 除了可能在 a 处, g' (x) ≠ 0. 那么, 我们需要

证明

假设右边的极限存在. 我们需要一个形式略有不同的中值定理, 它被称

为柯西中值定理：如果 f 和 g 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 且

在 (a, b) 上 g' (x) -= 0, 那么, 在 (a, b) 内存在某个 C 使得

我们首先来证明它, 然后用它来证明洛必达法则. 顺便提一句, 请注意,

如果对于所有的 x 有 g (x) = x, 那么 g' (x) = 1, 并且上述方程变为