Page 1383 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

其中 c 介于 0 和 x 之间. (请记住, 我们设了 a = 0, 因此, 形如 (x -

n
n
a) 的因子就变为 x , 形如 f (n) (a) 的量就变为 f (n) (0). ) 我们想要
证明的就是：

在所有 N 次或 N 次以下的多项式中, P 是在 0 附近 f 的最佳近
N

似.

到底如何证明类似的陈述呢？上下文中的 “最佳” 又意味着什么呢？

求解技巧是, 另外选取一个次数不超过 N 的多项式, 我们称之为 Q. 由

于 Q 不同于 P , 所以 Q 至少有一个系数不同于 P 中的相应系数.
N
N
我们想要证明 P (x) 比 Q(x) 更接近 f (x), 至少当 x 接近 0 时如此.
N

为了看到这两个量有多么接近, 你需查看一下这两个量的差. 因此, 我

们真正想要证明的就是不等式 |f (x) - P (x)| < |f (x) - Q(x)|, 此时
N

取 x 接近 0. 如果这是正确的, 那么就可以推出结论 —- P (x) 确实
N

比 Q(x) 更接近理想值 f (x).

为了得到这个不等式, 我们来分别看看两边的情况. 左边是 f (x) - P N

(x) 的绝对值, 这实际上就是余项 R . 我们已经有一个 R 的表达式,
N
N
它包括三个因子, 即 f (N +1) (c)、x N +1 及 1/ (N + 1)!. 我们知道 c

介于 0 和 x 之间, 当 x → 0 时, 根据三明治定理一定有 c → 0. 由于

我们假定 f 非常光滑, 函数 f (N +1) 是连续的. 因此, 当 x → 0 时有 c