Page 1389 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

实际上, 你可以使用麦克劳林级数把这个积分写成一个无穷级数, 但这

也不是简单的好方法. 当前的严峻现实是, 无法将本节最开始的那个定

积分的确切值以简洁的方式写出来. (在 16.5.1 节中, 我们已经讨论了

这一点. ) 另一方面, 我们可以使用黎曼积分的定义求出这个积分的近

似值, 即一个估算. 实际上, 在 16.2 节, 我们讨论了划分、区间以及黎

曼和. 由于积分是黎曼和的极限, 不取极限, 我们就可以得到一个近似.

因此, 为了估算积分

可以将区间 [a, b] 做一个形如

的划分, 然后在 [x , x ] 中选取一点 c , 在 [x , x ] 中选取一点 c ,
1
2
1
0
1
2
以此类推直到在 [x n-1 , x ] 中选取一点 c . 那时, 就可以写出
n
n

这就是说, 积分近似等于它的一个黎曼和.

所有这一切看起来都很抽象. 我们来看看它在上例中是如何起作用

的吧. 我们要从 0 到 2 积分, 因此需要区间 [0, 2] 上的一个划分. 该区

间上最简单的划分就是这个区间 [0, 2], 这相当于选择 n = 1、x = 0
0

及 x = 2. 我们只需要在 [0, 2] 内选取 c . 求出的近似很大程度上依
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1