Page 202 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

图 5-3

现在来考虑一下这个函数的连续性. 作为 x 的函数, 我们已经知道, 除

了在 x = 0 处, 1/x 在其他各处都是连续的. 现在, 我们将它与正弦函

数作复合, 得到的函数依然是连续的, 并且可以看到, 除了在 x = 0 处,

sin (1/x) 在其他各处也都是连续的. 现在, 你只需要用 x (这显然是 x

的连续函数!) 和 sin (1/x) 相乘就可以看到除了在 x = 0 处外, f 在其

他各处都是连续的.

那么在 x = 0 处发生了什么呢？显然, f 在 x = 0 不连续, 因为它在那

里甚至都没有定义 (图像上这里有一个洞). 让我们来定义一个函数 g

如下, 将这个洞堵上：