Page 203 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

因此, 除了在 x = 0 (此时 g 等于 0, 而 f 无定义) 外, g (x) = f (x).

因此, g 必然是处处连续的, 而 f 除 x = 0 外处处连续. 现在需要来看

看在 x = 0 处发生了什么.

由于 g (0) 有定义, 这就有了希望. 此外, 可以使用 3.6 节的三明治定

理来证明

通过对称性 (或再次使用三明治定理), 可以看到左极限也等于 0. 事实

上, 双侧极限也为 0：

因此, 就证明了

因为等号两边都存在且等于 0. 这意味着, g 在 x = 0 处实际上是连续

的, 尽管它是一个分段函数的形式.

我们差不多已经准备好, 可以来看看两个涉及连续性的很好的事实. 不

过首先, 我想回到第 4 章开始时曾讲到的一点. 当时所举的第一个例子

是