Page 265 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

然后, 对 uz 使用乘积法则, 得到

剩下要做的就是用 vw 替换 z 以及用上式替换 dz/dx, 得到

将上式展开, 就可以得到想要的公式了.

最后, 来考虑一下链式求导法则. 假设 y = f (u) 及 u = g (x). 这意味

着, u 是 x 的函数, y 是 u 的函数. 如果将 x 稍作改变, 结果是 u 也会

有相应的变化. 因为如此, y 也会改变. 那 y 将有多大的改变呢？

好吧, 让我们从关注函数 u 开始, 观察对于 x 的一个小的变化它是如何

反应的. 忆及 u = g (x), 因此正如 5.2.7 节所讨论的, u 的变化可以近

似看成 g' (x) 乘以 x 的变化. 你可以将 g' (x) 看作是一种拉伸因子.

(例如, 如果你站在游乐园中那些可以让你变高变瘦两倍的哈哈镜前面,

然后踮起脚尖, 你的镜像将变高两倍于你实际身高的高度.) 这可描述为

现在可以对用 u 表达的 y 来重复以上练习. 由于 y = f (u), u 的一个

变化会引起 y 中的近似 f' (u) 倍于此的一个变化：